К одному из узлов плоской фермы приложена сила P = 4 кН. Определить реакции опор фермы (при помощи теоремы о равновесии трех непараллельных сил), а также усилия во всех ее стержнях способом вырезания узлов. Вес стержней не учитывать. Результаты аналитического расчета проверить для каждого узла путем построения силового многоугольника. Основываясь на полученных значениях усилий в стержнях, определить реакции опор фермы также и аналитическим способом.
Решение
1. Определение реакции опор
Так как опора В стержневая, то линия действия реакции известна: она направлена по оси стержня ВD. Линию действия определяем, применяя теорему о равновесии трех непараллельных сил (рис.1).
Три силы , и взаимно уравновешиваются, следовательно, линии их действия пересекаются в одной точке.
Находим точку пересечения линии действия сил и . Линия действия реакции проходит через эту точку (точка N) и центр шарнира А. Строим замкнутый силовой треугольник (рис.2). Его построение начинаем с силы Р. Через начало проводим прямую параллельную линии действия одной реакции, например , а через конец – прямую, параллельную линии действия до их взаимного пересечения. Стороны полученного замкнутого силового треугольника определяют модули и направления опорных реакций и . Из подобия силового треугольника и треугольника ANB следует, что силовой треугольник равнобедренный с углом при основании 45o. C учетом этого находим и кН.
2. Определение усилий в стержнях фермы.
Кроме внешних сил, которые могут быть приложены к узлу фермы, на каждый её узел действуют реакции сходящихся в нем стержней. Эти реакции равны усилиям в стержнях.Рассматриваем равновесие сил, приложенных к каждому узлу фермы. Условно предпо-лагаем, что все стержни растянуты, то есть реакции стержней направлены от узлов (рис.3). Отрицательные знаки найденных реакций показывают, что соответствующие стержни не растянуты, а сжаты, то есть реакции этих стержней направлены к узлам.
Реакции каждого стержня обозначим и, причем . Расчет начинаем с узла O. Составим два уравнения равновесия сил, приложенных к этому узлу:
Узел L:
Узел D:
Узел K:
Узел M:
Узел C:
Имеем 11 неизвестных и 11 уравнений, поэтому система (1)-(11) разрешима однозначно.
Подставим последовательно (1), (4) и (5) в (8), получим:
12)
Подставим последовательно (10), (7) и (9) в (12), получим:
(13)
Откуда получаем
(14)
Подставим (14) в (3), найдем S2:
кН.
Из (14) находим
кН.
Итак далее находим
кН, кН,
кН, кН,
кН, кН,
кН, , кН.
Т.о., реакции всех стержней определены. Замкнутые многоугольники сил, приложенных к каждому из узлов фермы, показаны на рис.4.
Определим реакции опор составив уравнения равновесия сил, приложенных к узлам А и В (рис. 5).
Узел В:
; ,
;
откуда кН.
Узел А:
; ,
; .
откуда кН.
Числовые значения реакций и , полученные двумя способами совпадают.
3. Составление таблицы усилий в стержнях фермы и построение схемы фермы с действительными направлениями этих усилий.
По результатам расчета составляем таблицу усилий в стержнях фермы (табл.1).
Таблица 1
Схема фермы с действительными направлениями усилий показана на рис.6.
