Условие. Механическая система состоит из тел 1, 2,...,5 весом Р₁, Р₂,..., Р₅ соответственно, связанных друг с другом нитями, намотанными па ступенчатые блоки 1 и 2. Радиусы ступенчатых блоков 1 и 2 равны соответственно: R₁ = R, r₁ = 0,4R,R₂ = R, r₂ = 0,8R. При вычислении моментов инерции все блоки, катки и колеса считать однородными сплошными цилиндрами радиуса R. В начальный момент времени пружина с коэффициентом жесткости с не деформирована.

На систему кроме сил тяжести действует сила F, приложенная к телу 3 или 4 (если тело 3 в систему не входит, сила приложена в точке В к тележке), и пары сил с моментами М₁, М₂, приложенные к блокам 1 и 2; когда М

Составить для системы уравнения Лагранжа и найти закон изменения обобщенной координаты х, т. е. х = f(t), считая, что движение начинается из состояния покоя; определить также частоту и период колебаний, совершаемых телами системы при се движении

Все входящие сюда скорости надо выразить через обобщенные скорости ,  . Очевидно, что ,  .

Откуда . Для определения  рассмотрим движение тележки как сложное. Учитывая, что x определяет положение т. В относительно блока 2, получим , где численно ,  . Тогда учитывая, что при возрастании ? и x скорости  и  направлены в разные стороны, получим

. .

Подставляя все найденные значения скоростей и значения моментов инерции в равенства (3) и учитывая, что P₁ = 0, P₂ =2P, P₄ = P, получим окончательно из (2) следующее выражение для T:

           (4)

Отсюда находим

,   ;      ,    .   (5)

     3. Теперь определим обобщенные силы Q₁ и Q₂. Изображаем действующие на систему активные силы: силы тяжести ,  для каждого колеса, силы упругости  и , где численно , и пару M₁.

a)Для определения Q₁ сообщим системе возможное перемещение, при котором координата ? получает приращение ??>0, а xне изменяется, т.е. ?x=0 (пружина при таком перемещении не изменяет свою длину). Тогда блок 2 поворачивается на угол , а тележка получает приращение  и элементарная работа действующих сил будет равна    . 

Заменив здесь все величины их значениями, найдем в результате, что

          (6)

b)Для определения Q₂ сообщим системе возможное перемещение, при котором координата x получает приращение ?x>0, а ?не изменяется, т.е. ??=0 (блоки 1 и 2 не поворачиваются). Тогда элементарную работу совершит только сила , получим

.          (7)

Коэффициенты при ?? и ?x в равенствах (6) и (7) и будут искомыми обобщенными силами; следовательно,

,   .          (8)

Подставляя величины (5) и (8) в уравнения (1), получим следующие дифференциальные уравнения движения системы:

;   .       (9)

     4. Для определения x=f(t) исключим из уравнений (9)  :

Получили дифференциальное уравнение вида

,           где ,          (10)

Общее решение уравнения (10), имеет вид x = x₁ + x₂, где x₁ – общее решение однородного уравнения  , т.е. , а x₂ – частное решение уравнения (10). Будем искать решение x₂ в виде x₂ = А = const. Подставляя значение x₂ в уравнение (10) , получим A = a/ k². Т.о., общее решение уравнения (10) имеет вид

,              (11)

где С₁ и С₂ – постоянные интегрирования. Для их определения найдем еще производную  от x по времени:

.               (12)

По начальным условиям при t = 0 x = 0,  (движение начинается из состояния покоя и пружина в этот момент не деформирована). Подставляя эти величины в уравнения (11) и (12), найдем из них, что C₁ = 0, C₂ = -a / k².

Окончательно получим искомую зависимость x=f(t) в виде

,                  (13)

где значения aи k² даются последними 2-мя из равенств (10). Т.о., тележка совершает по отношению к блоку 1 колебания, закон которых дает равенство (13). Круговая частота k и период ? этих колебаний:

            (14)