|
studen
|
11.11.2010, 00:03
Сообщение # 1
|
Прохожий
Группа: Пользователи
Сообщений: 1
Награды: 0
Статус: Offline
|
Здравствуйте.
Попалась задачка, в которой требуется найти n-ую степень матрицы A. Подскажите, пожалуйста, алгоритм такой операции. Будет здорово, если кто-то покажет или даст ссылку на пример решения подобной задачи.
Умножение матрицы n раз на саму себя не вариант.
|
| |
|
|
|
Pioneer
|
16.11.2010, 12:45
Сообщение # 2
|
|
Зачастивший
Группа: Администраторы
Сообщений: 97
Награды: 0
Статус: Offline
|
Знаю три способа. Для первого и второго даю алгоритмы, для третьего попробуйте сами найти. Если найдете алгоритм, то найдете и примеры решения.
I способ:
1. Найти собственные значения и собственные векторы матрицы;
2. Записать преобразующую матрицу `S` и обратную к ней `S^-1`
3. Найти диагональную форму матрицы `D=S^-1·A·S`
4. Для нахождения энной степени матрицы использовать формулу
`A^n= S·D^n·S^-1`.
*Для возведения диагональной матрицы в энную степень, нужно возвести в энную степень ее диагональные элементы.
II способ:
1. Найти собственные значения и собственные векторы матрицы;
2. Записать преобразующую матрицу `S` и обратную к ней `S^-1`
3. Найти жорданову форму матрицы `J_A=S^-1·A·S`
4. Записать многочлен от жордановой матрицы `f(J_A)`
5. Для нахождения энной степени матрицы использовать формулу
`A^n= S·f(J_A)·S^-1`
III способ:
С помощью аннулирующих многочленов. Смотрите в учебниках по линейной алгебре. |
| |
|
|
